@hiromin さん、ご質問ありがとうございます。
決済が完了したものは、必ず取引履歴に反映されますので、取引履歴に反映がないということは、決済は完了していていません。
お客様に決済完了のメールというのが、Squareのレシートでないのであれば、オーソリゼーション （信用照会 / クレジットカード与信枠の確保）を取りに行った段階でカード会社（海外の場合カードを発行している銀行の場合もあります）が送られたものではないかと思います。
決済を途中でキャンセルしたのに、カード明細に載っていると連絡がきました。どうして？でクレジットカード決済の仕組みを説明していますので、ご一読ください
